Question

如图,在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=90°,点P是弧AB上的一个动点(不与点A,B重合)PD⊥Bo,OA⊥PC,

如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=90°，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）PD⊥Bo，OA⊥PC，垂足分别为D、C．点E、F、G、H分别是OD、PD、PC的中点，EF与DG相交于M ，HG与EC相交于点N，连结MN，如果OC=x，MN=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

Answer 1

根据题意作左图，CC=x，OD=PC=√(1-x²)；

由对称性容易判断出MGNE是平行四边形，且OP平分EM和GN；

由于E、F、G、H分别是矩形ODPC各边的中点，根据三角形相似可求出CM＝CE/3、DN=DG/3；

如以AOB为坐标系，则坐标E(0,√(1-x²) /2)，M(2x/3,√(1-x²) /6)，N[x -2x/3,√(1-x²) -√(1-x²) /6]；

∴ MN²=(2x/3 -x/3)² +[√(1-x²) /6 -5√(1-x²) /6)]²=x²/9 +4(1-x²)/9=4/9 -x²/3；

∴ y=√(4-3x²) /3，根据前面推导过程可知，定义域：0<x<1；

Answer 2

设OP与OB的夹角为a,则P点坐标为（cosa、sina),由已知得x=sina。设M、N点坐标为（Xm、Ym）、（Xn、Yn）
在三角形COE中，令角ECO=b，2tgb=ctga，由几何关系Xnctgb+Yn=sina (1),Xntga+sina/2=Yn (2)

根据方程（1)和（2）可求出N点坐标（是a的三角函数表达)，同样可计算出M点坐标，利用距离公司计算出MN的长度，用x=sina的关系，替换出a的三角函数，即可得到y的表达式，其定义域为（0,1）