Question

已知f（x）=x-ln（x+1）.g（x）=ax2 1.求函数f（x）的单调区间与最值 2.若对任意的x∈[0.正无穷），...

已知f（x）=x-ln（x+1）.g（x）=ax2
1.求函数f（x）的单调区间与最值
2.若对任意的x∈[0.正无穷），有f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)定义域为{x|x＞-1}
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
∴ 当-1＜x＜0时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞0时，f'(x)＞0,f(x)单调递增。
∴当x=0时f(x)取得极小值和最小值0

令h(x)=f(x)-g(x)=x-ln(x+1)-ax²
h'(x)=x/(x+1)-2ax=x(-2ax+1-2a)/(x+1)≤0
∵x≥0，∴-2ax+1-2a≤0
∴x=(1-2a)/(2a)≥0
∴0<a≤0.5
故当0<a≤0.5时，对任意的x∈[0.+∞)，f(x)≤g(x)恒成立

Answer 2

答：
（1）f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
因为x+1>0，所以：x>-1.
当-1<x<=0时，f'(x)<=0，f(x)单调减
当x>0时，f'(x)>=0，f(x)单调增
f(x)最小值为f(0)=0

（2）令m(x)=f(x)-g(x)=x-ln(x+1)-ax^2<=0=m(0)
m'(x)=x/(x+1)-2ax=x(-2ax+1-2a)/(x+1)<=0
因为x>=0，所以：-2ax+1-2a<=0
当x=0时，1-2a<=0
a>=1/2
故当a>=1/2时，对任意的x∈[0.正无穷），f(x)<=g(x)恒成立

Answer 3

f(x)定义域为x＞-1
f′(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
∴ -1＜x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
x＞0时，f′(x)＞0,f(x)单调递增。
f(x)min=f(0)=0

令：F(x)=g(x)-f(x)=ax²-x+ln(x+1)≧0
F(0)=0
F′(x)=2ax-1+1/(x+1)＞0
又∵ x≧0，∴ x+1＞0
∴2ax(x+1)-(x+1)+1＞0
x[2a(x+1)-1]＞0
2ax+2a-1＞0
∵2ax≧0，要保证2ax+2a-1＞0
只需：2a-1＞0
∴ a＞1/2时，对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤g（x）恒成立