设二维随机变量(X,Y)在单位圆内服从均匀分布,试问X,Y是否独立
由题意知:X^2+Y^2=1，所以可设: X=cosθ，Y=sinθ，θ为[-π，π]上均匀分布的随机变量。
E(X)=(1/2π)∫(-π→π)cosθdθ=0； E(Y)=(1/2π)∫(-π→π)sinθdθ=0；
E(X^2)=(1/2π)∫(-π→π)(cosθ)^2dθ=1/2；
E(Y^2)=(1/2π)∫(-π→π)(sinθ)^2dθ=1/2；
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=1/2；
D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=1/2；
E(XY)=(1/2π)∫(-π→π)cosθsinθdθ=0；
协方差Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0；
所以，相关系数ρXY=Cov(X，Y)/[(√D(X))(√D(Y))]=0；所以X、Y不相关；
另外，显然有P{0＜X＜1/2}≠0， P{0＜Y＜1/2}≠0，所以: P{0＜X＜1/2}P{0＜Y＜1/2}≠0。
但是，0＜X＜1/2和0＜Y＜1/2同时发生的概率为零，即:P{0＜X＜1/2，0＜Y＜1/2}=0， 所以P{0＜X＜1/2，0＜Y＜1/2}≠P{0＜X＜1/2}P{0＜Y＜1/2}，所以X、Y不独立。
扩展资料：
相互独立的充要条件是协方差为0,同时相关系数为0。根据充分条件和必要条件的定义：若条件要求包含在“协方差为0,同时相关系数为0”内，则其为相互独立的必要条件；若“协方差为0,同时相关系数为0”包含在条件要求内，则其为相互独立的充分条件。否则，为既不充分又不必要条件。
若随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布，则X与Y独立的充要条件是X与Y不相关。
对任意分布,若随机变量X与Y独立, 则X与Y不相关，即相关系数ρ=0.反之不真.
但当随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布时,若X与Y不相关, 即相关系数ρ=0, 可以得到联合分布密度函数是两个边缘密度函数的乘积，所以X与Y独立。
