Question

已知向量a,b是两个非零向量，当a+tb的模取得最小值时:(1)求t的值;(2)已知a,b共线同...

已知向量a,b是两个非零向量，当a+tb的模取得最小值时:(1)求t的值;(2)已知a,b共线同向，求证:b垂直于(a+tb)

Answer 1

| a+tb |^2=（a+tb）²＝a^2+t^2b^2+2ta•b
= b^2 t^2+2ta•b+ a^2
看成关于t的一元二次函数,因为t是实数,
当| a+tb |取得最小值时，实数t =-(a•b)/b^2,
当t＝-(a•b)/b^2,
此时，（a+tb）•b＝a•b+t b^2＝a•b -(a•b)/b^2 *b^2
=a•b-a•b＝0,
所以（a+tb）⊥b
如果本题有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳
如果有其他问题请另发或点击向我求助，答题不易，请谅解，谢谢。
祝学习进步！

追问

怎么算出t＝-(a•b)/b^2的？

追答

b^2 t^2+2ta•b+ a^2

看成关于t的一元二次函数,因为t是实数

二次函数的对称轴（公式）
=-(a•b)/b^2,

追问

不会，请你配一下吧，我想应该先化成数量积形式然后在配方吧
我最后结果是t=-a的模除以b的模再乘以a、b的夹角cos，答案没有ab的夹角，但题上没说向量ab的方向问题，不知道为什么没有夹角

追答

你这么做反而求不出来了，本来这题就不求ab的夹角，你干嘛还这么算呢
它想考的是| a+tb |

追问

答案是t等于负的a的模除以b的模，可不是-(a•b)/b^2

追答

看着答案，感觉
-(a•b)/b^2

=-|a||b|cos夹角/|b|^2
=-|a|/|b|cos夹角
如你所说了

追问

答案没有cos角，我就想问为什么没有？

追答

先说明答案不一定就全对，毕竟现在很多习题册都是相互摘抄过来的，少点东西很正常

我找到原题答案了