Question

如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC， BC上的点，且满足AE=FC=CP=1．将△AEF沿EF折起

Answer 1

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如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，

BC上的点，且满足AE=FC=CP=1．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B，A1P（如图2）．

（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．

（Ⅰ）证明：取BE中点D，连接DF．

因为AE=CF=1，DE=1，所以AF=AD=2，

而∠A=60°，即△ADF是正三角形，

又因为AE=ED=1，所以EF⊥AD，

所以在图2中A1E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．

由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE，

又BE∩EF=E

∴A1E⊥平面BEF，

∴A1E⊥平面BEP。

（Ⅱ）在图2中，A1E不垂直A1B，

∴A1E是平面A1BP的垂线，又A1E⊥平面BEP，

∴A1E⊥BE．

从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）

设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q．

在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°，∴△EBP是等边三角形．

又A1E⊥平面BEP，∴A1B=A1P，

∴Q为BP的中点，且EQ=√3   

，又A1E=1，

在Rt△A1EQ中，tan∠EA1Q=EQ/A1E=√3，

∴∠EA1Q=60°，

∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60°．

Answer 2

阿尔法个vae