Question

设数列｛an｝的前n项和为sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2An－3n,。（1）设bn＝An＋3，求证：数列｛bn...

设数列｛an｝的前n项和为sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2An－3n,。（1）设bn＝An＋3，求证：数列｛bn｝是等比数列，并求出｛an｝的通项公式。（2）求数列｛Nan}的前n项和

Answer 1

1)an=Sn-S(n-1)=2an-3n-[2a(n-1)-3(n-1)]=2an-2a(n-1)-3
an=2a(n-1)+3
bn=an+3=2a(n-1)+6=4a(n-2)+12
b(n-1)=2a(n-2)+6
bn/b(n-1)=2
∴bn是等比数列
a1=2a1-3
a1=3
b1=a1+3=6
bn=b1q^(n-1)=6*2^(n-1)
an=bn-3=6*2^(n-1)-3
Tn=a1+2a2+3a3+...+nan=1*6*2^0-3+2*6*2^1-3+3*6*2^2-3+...+n*6*2^(n-1)-3
2Tn=1*6*2^1-6+2*6*2^2-6+3*6*2^3-6+...+n*6*2^n-6
2Tn-Tn=1*6*2^1-6+2*6*2^2-6+3*6*2^3-6+...+n*6*2^n-6-[1*6*2^0-3+2*6*2^1-3+3*6*2^2-3+...+n*6*2^(n-1)-3]

Tn=n*6*2^n-3n-[6*2^0+6*2^1+6*2^2+...+6*2^(n-1)]
=n*6*2^n-3n-6*(2^n-1)/(2-1)
=6(n-1)*2^n-3n+6

Answer 2