Question

高数超难证明题！！！大神进！！！请写下具体的步骤！！！谢了！！！

Answer 1

设lim{x→+∞} f(x) = C.
对任意ε > 0, 存在A > 0使x > A时|f(x)-C| < ε/2, |f'''(x)| < ε/16.

对任意x > A, 由Lagrange中值定理, 存在b∈(x,x+2), 使f'(b) = (f(x+2)-f(x))/2.
则|f'(b)| ≤ (|f(x+2)-C|+|f(x)-C|)/2 < ε.
同理, 存在c∈(x+6,x+8), 使|f'(c)| < ε.

仍由Lagrange中值定理, 存在d∈(b,c), 使f''(d) = (f'(c)-f'(b))/(c-b).
由c-b > 4, 有|f''(d)| ≤ |f'(c)-f'(b)|/4 ≤ (|f'(c)|+|f'(b)|)/4 < ε/2.

由d∈(b,c) ⊆ (x,x+8), 有0 < |x-d| < 8.
由Lagrange中值定理, 存在e∈(x,d)使f'''(e) = (f''(d)-f''(x))/(d-x).
于是|f''(x)| = |f''(d)+(x-d)f'''(e)| ≤ |f''(d)|+|x-d|·|f''(e)| < ε/2+8(ε/16) = ε (e > A, 故|f'''(e)| < ε/16).
即得lim{x→+∞} f''(x) = 0.

类似的, 存在g∈(x,b), 使f''(g) = (f'(b)-f'(x))/(b-x).
由|f''(g)| < ε, 0 < |x-b| < 2, 有|f'(x)| ≤ |f'(b)|+|x-b|·|f''(g)| < ε+2ε = 3ε.
同样得到lim{x→+∞} f'(x) = 0.

Answer 2

擦啊，这些全都还给老师了。。。我就认识个0，其他的全忘了。。。等号也认识

Answer 3

显然的，这还用证。。。由可微必可导直接推出来，没导时候趋于常数，，导后全部为0（只到3介而已）

Answer 4

妈呀，不懂！！！