Question

已知椭圆E：X^2/a^2+y^2/b^2=1过点P(3,1)，其左右焦点为F1，F2，且向量F1P*F2P=-6

1）求椭圆E的方程
（2）若MN是直线X=5上的两点且F1M⊥F2N，圆C是以MN为直径的圆，其面积为S，求S的最小值以及S取最小值时圆C的方程

Answer 1

解：（1）以P（3，1）代入椭圆E，得9/a^2+1/b^2=1① 设F1(-c,0), F2(c,0),向量F1P=（3+c,1）, 向量F2P=（3-c,1) 由已知（3+c,1）×（3-c,1）=-6, 解得c^2=16, c=4 c^2=a^2-b^2=16② 由①②解得a^2=18, b^2=2, E为x^2/18+y^2/2=1 (2)设M为（5，m）,N(5,n),(设m>n) F1(-4,0), F2(4,0),向量F1M=(9,m), 向量F2N=(1,n) (9,m)×(1,n)=0, 9+ mn=0, n=-9/m 圆C的半径r, 2r=MN=m-n=m+9/m≥2√(m*9/m)=6 ,r最小=3，S最小=π*3^2=9π 当且仅当m=9/m, 所以m=3, n=-3 圆心在（5，0）圆C为(x-5)^2+y^2=9