Question

已知数列｛an｝满足a1＝2－λ，an＋1＝2an＋λ（n－1），（n∈N*）

已知数列｛an｝满足a1＝2－λ，an＋1＝2an＋λ（n－1），（n∈N*）⑴证明：数列｛an＋λn｝为等比数列；⑵求数列｛an｝的通项an以及前n项和sn；⑶如果对任意的正整数n都有sn≥0，求λ的取值范围。

Answer 1

1.
a(n+1)=2an+λ(n-1)=2an+λn-λ
a(n+1)+λ(n+1)=2an+λn-λ+λ(n+1)=2an+2λn=2(an+λn)
a1+λ=2-λ+λ=2
[a(n+1)+λ(n+1)]/(an+λn)=2，为定值。
数列{an+λn}是以2为首项，2为公比的等比数列。
2.
an+λn=2×2^(n-1)=2ⁿ
an=2ⁿ-λn
Sn=a1+a2+...+an=(2+2^2+...+2ⁿ)-λ(1+2+...+n)
=2(2ⁿ-1)/(2-1)-λn(n+1)/2
=2^(n+1) -λn(n+1)/2 -2
3.
Sn≥0
2^(n+1) -λn(n+1)/2 -2≥0
λ≤[2^(n+2) -4]/[n(n+1)]
[2^(n+3)-4]/[(n+1)(n+2)] -[2^(n+2)-4]/[n(n+1)]
=[n×2^(n+3)-4n -(n+2)×2^(n+2)+4(n+2)]/[n(n+1)(n+2)]
=4×[(n-2)×2^n+2]/[n(n+1)(n+2)]
4、n(n+1)(n+2)均>0，只要判断(n-2)×2^n +2
n=1时，(1-2)×2+2=0
n=2时，(2-2)×4+2=2>0
n≥2，n-2、2^n均单调递增，(n-2)×2^n单调递增，2为常数，因此(n-2)×2^n+2单调递增。
即n≥2时，随n增大，[2^(n+2) -4]/[n(n+1)]>0且单调递增。当n=1、n=2时，
[2^(n+2) -4]/[n(n+1)]取得最小值，要不等式对于任意正整数n恒成立，则λ≤最小值。
令n=1，(2^3-4)/(1×2)=2
λ≤2。