Question

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E．（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：OD+OE=
2OC；

（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：OD+OE=√2 OC；

（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2这种情况下，上述结论仍然成立

过点C分别作CK⊥OA，垂足为K，CH⊥OB，垂足为H．
∵OM为∠AOB的角平分线，且CD⊥CE，CK⊥CH，

所以∠1+∠3=∠2+∠3=90，得∠1=∠2

又CK=CH，∠CKD=∠CHE=90

∴ △CKD≌△CHE，所以有DK=EH

则OD+OE=（OK+KD）+（OH-EH）=OK+OH=√2 OC

3）在图3这种情况下，上述结论不成立

过点C分别作CK⊥OA，垂足为K，CH⊥OB，垂足为H

同理可得△CKD≌△CHE，所以有DK=EH，且CK=CH

这时：OE-OD=（OH+HE）-（DK-OK）=OK+OH=√2 OC

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