Question

数学通项公式

Answer 1

八种求数列通项公式的方法

一、公式法
例1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。
解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 ，所以数列 的通项公式为 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：由 得 则
所以数列 的通项公式为 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。
例3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：由 得 则
所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。
例4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解： 两边除以 ，得 ，
则 ，故
因此 ，
则
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。
三、累乘法
例5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：因为 ，所以 ，则 ，故
所以数列 的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。
例6已知数列 满足 ，求 的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则
故
所以 ③
由 ， ，则 ，又知 ，则 ，代入③得 。
所以， 的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，从而可得当 的表达式，最后再求出数列 的通项公式。
四、待定系数法
例7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：设 ④
将 代入④式，得 ，等式两边消去 ，得 ，两边除以 ，得 代入④式得 ⑤
由 及⑤式得 ，则 ，则数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，则 ，故 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。
例8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：设 ⑥
将 代入⑥式，得
整理得 。
令 ，则 ，代入⑥式得
⑦
由 及⑦式，
得 ，则 ，
故数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列，因此 ，则 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。
例9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：设 ⑧
将 代入⑧式，得
，则
等式两边消去 ，得 ，
解方程组 ，则 ，代入⑧式，得
⑨
由 及⑨式，得
则 ，故数列 为以 为首项，以2为公比的等比数列，因此 ，则 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。
五、对数变换法
例10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。
解：因为 ，所以 。在 式两边取常用对数得 ⑩
设 11
将⑩式代入11式，得 ，两边消去 并整理，得 ，则
，故
代入11式，得 12
由 及12式，
得 ，
则 ，
所以数列 是以 为首项，以5为公比的等比数列，则 ，因此
则 。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。
六、迭代法
例11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：因为 ，所以
又 ，所以数列 的通项公式为 。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 两边取常用对数得 ，即 ，再由累乘法可推知 ，从而 。
七、数学归纳法
例12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：由 及 ，得
由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当 时， ，所以等式成立。
（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，
由此可知，当 时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何 都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法
例13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：令 ，则
故 ，代入 得
即
因为 ，故
则 ，即 ，
可化为 ，
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因此 ，则 ，即 ，得
。
评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化 形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。

Answer 2

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