Question

已知点F1,F2分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点,P为双曲线左支上的任意一点,

若丨PF2丨^2/丨PF1丨
的最小值为9a则双曲线离心率为
A2
B5
C3
D2或5
追加财富值25求详细解题过程。

Answer 1

设|PF1|=m，则|PF2|=2a+m

|PF2|²/|PF1|=(2a+m)²/m=(4a²+4am+m²)/m
=(4a²/m+m+4a)
≥9a
所以4a²/m+m≥5a，m²-5am+4a²≥0.
解得m≥4a或m≤a（舍）.
因为对任意的P，m≤a显然不成立.
m≥4a时，c-a≥4a，所以e≥5.

最小值为9时，e=5.

追问

m≤a为什么不可能。

追答

P在左支上运动，|PF1|只有最小值c-a，没有最大值.

当P向左无限运动时，|PF1|是无限增大的，没有上限，所以|PF1|≤a对任意的P不能恒成立.

追问

PF1的最小值c-a和a怎么作比较，做差结果是c-2a没法比较正负情况呀，a也可以大于c-a呀。

追答

当PF2|²/|PF1|=(2a+m)²/m=(4a²+4am+m²)/m
=(4a²/m+m+4a)
≥9a时，m≥4a或m≤a.

注意这个不等式m≥4a或m≤a.要对任意的P在双曲线左支上成立.

当P向左无限运动时，|PF1|是无限增大的，必定会有|PF1|>a.

Answer 2

D.
若丨PF2丨^2/丨PF1丨的最小值为9a可以推出，当P为（-a,o)。
则有 (a+c)^2/c-a=9a
然后计算 可以得出 e=2或5

追问

• 为什么当P为（-a,o)时丨PF2丨^2/丨PF1丨的【最小值】为9a。

追答

我直接，直觉感觉出来了。现在怎么证明这个我倒不会了。
你可以参考上我上面那位的过程。不过我觉得m可以大于或等于A
M=C-A ，好像可以大于或等于。
以上仅个人想法。

追问

O(∩_∩)O谢谢

Answer 3