Question

急求高一一道数学题解题过程！好人一生平安！

已知方程x²+y²-2(t+3)x+2(1-4t²)y+16t^4+9=0(t属于全体实数)表示的图形是圆。

1.求t取值
2.求其中面积最大的圆的方程
3.若点P(3,4t² )恒在所给的圆内，求t的取值范围。

（“t^4”是指t的四次方哦，大家应该知道。。）

Answer 1

1.方程可化为：[x-(t+3)]^2+[y+(1-4t^2)]^2=(t+3)^2+(1-4t^2)^2-(16t^4+9)
因为该方程表示圆，故(t+3)^2+(1-4t^2)^2-(16t^4+9)>0
不等式化简得-7t^2+6t+1>0,即7t^2-6t-1<0,(t-1)(7t+1)<0,得 -1/7<t<1
2.r^2=-7t^2+6t+1=-7(t-3/7)^2+16/7,故半径平方最大值为16/7，此时t=3/7
即最大面积的圆的方程为(x-24/7)^2+(y-57/7)^2=16/7
3.由于点P在圆内部，故将P点坐标代入圆方程有
[3-(t+3)]^2+[4t^2+(1-4t^2)]^2<-7t^2+6t+1
化简得2t(4t-3)<0,故 0<t<3/4
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Answer 2

x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0
[x-(t+3)]^2+[y+(1-4t^2)]^2=-16t^4-9+(t+3)^2+(1-4t^2)^2
则-16t^4-9+(t+3)^2+(1-4t^2)^2〉0
-16t^4-9+t^2+6t+9+1-8t^2+16t^4>0
-7t^2+6t+1>0
7t^2-6t-1<0
(t-1)(7t+1)<0
-1/7<t<1