Question

(1+x)+(1+x)^2+...+(1+x)^n=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,且a1+a2+...an-1=509-n，求n及a3的值

高二二项式系数相关知识

Answer 1

a0 为常数项，因此 a0=1+1+....+1=n ，
an 为 x^n 的系数，显然有 an=1 。
在已知等式中，令 x=1 得 2+2^2+2^3+......+2^n=a0+a1+a2+......+an ，
所以 2^(n+1)-2=n+509-n+1 ，
解得 n= 8 。

a3 为 x^3 的系数，由二项式定理得
a3=C(3，3)+C(4，3)+C(5，3)+.......+C(n，3)
=C(4，4)+C(4，3)+C(5，3)+.......+C(n，3)（仅仅是把第一项的 1 换一种写法）
=C(5，4)+C(5，3)+........+C(n，3) （利用二项系数性质，把前两项合并）
=。。。。。（总是合并前两项）
=C(n+1，4)
=1/24*(n+1)n(n-1)(n-2)
=126 。（把 n=8 代入计算）