Question

求证 1/(1^2+1)+1/(2^2+1)+1/(3^2+1)........+1/(N^2+1)<1

Answer 1

n²+1＞n²-n=(n-1)*n
则1/(n²+1)＜1/[(n-1)*n]=1/(n-1)-1/n
原式=1/(1²+1)+1/(2²+1)+/1(3²+1)+...+1/(n²+1)
＜1/(1²+1)+[1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/(n-1)-1/n]
=1/2+1/2-1/n
=1-1/n＜1

追问

这一步错了

追答

这个结论是错的,证明不了
当n≥13的时候,
原式就＞1了

1 2 0.5 0.5
2 5 0.2 0.7
3 10 0.1 0.8
4 17 0.058824 0.858824
5 26 0.038462 0.897285
6 37 0.027027 0.944312
7 50 0.02 0.944312
8 65 0.015385 0.959697
9 82 0.012195 0.971892
10 101 0.009901 0.981793
11 122 0.008197 0.98999
12 145 0.006897 0.996886
13 170 0.005882 1.002768
n=13时,左边＞1

题目改成求证 1/(1^2+1)+1/(2^2+1)+1/(3^2+1)........+1/(N^2+1)<1.5
就是上面的
n²+1＞n²-n=(n-1)*n
则1/(n²+1)＜1/[(n-1)*n]=1/(n-1)-1/n
原式=1/(1²+1)+1/(2²+1)+/1(3²+1)+...+1/(n²+1)
＜1/(1²+1)+[1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n]
=1/2+1-1/n
=1.5-1/n＜1.5