Question

已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx,3/2),f(x)=(m+.n)*m.

要求第二问：锐角△ABC中,a,b,c,分别为角A,B,C的对边,若5a=（4根号2）c,b=7根号2,f(B/2)=（3根号2/）10，求边a,c

Answer 1

已知向量m=(sinx，-1)；n=(cosx，3/2)；f(x)=(m+n)•m；锐角△ABC中a，b，c分别为角A，B，C的对边；若5a=4(√2)c，b=7√2，f(B/2)=(3/10)√2，求边a，c。
解：m+n=(sinx+cosx，1/2)；
故f(x)=(m+n)•m=(sinx+cosx)sinx-1/2=sin²x+sinxcosx-1/2=(1-cos2x)/2+(1/2)sin2x-1/2
=(1/2)(sin2x-cos2x)=(√2/2)sin(2x-π/4)；
f(B/2)=(√2/2)sin(B-π/4)=(3/10)√2，故得sin(B-π/4)=3/5；B=π/4+arcsin(3/5)；
a=(4/5)(√2)c，b=7√2，cosB=cos[π/4+arcsin(3/5)]=(√2/2)[sinarcsin(3/5)+cosarcsin(3/5)]
=(√2/2)[3/5+√(1-9/25)]=(√2/2)(3/5+4/5)=(7/10)√2；
由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB，即有：
98=(32/25)c²+c²-(8/5)(√2)[(7/10)√2]c²=(57/25)c²-(56/25)c²=(1/25)c²；
故得c²=98×25；∴c=35√2；a=(4/5)(√2)(35√2)=56.

Answer 2

由F(B/2)=(√2/2)sin(B-π/4)=(3/10)√2
可得sin(B-π/4)=3/5
∵B∈（0，π/2）
(B-π/4)∈（-π/4，π/4）
又sin(B-π/4) >0
故B-π/4∈（0，π/4）
∴cos(B-π/4)=4/5
sin(B-π/4)= (√2/2)sinB-(√2/2)cosB=3/5——①
cos(B-π/4)= (√2/2)sinB+(√2/2)cosB=4/5——②
②-①可得cosB=1/ (5√2)
设a=（4√2）k ，c=5k ，k＞0
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB
则有98 = [4√2k]^2 + (5k)^2 – 2*（4√2k）*（5k）*[1/ (5√2)]
解得k=√2
∴a=8，c=5√2