Question

已知函数f(x)=(x+a)lnx,若f(x)是单调递增函数,求a的范围

Answer 1

f(x)=(x＋a)lnx
在：
f'(x)=lnx＋(x＋a)/x=(xlnx＋x＋a)/(x)≥0对一切x>0恒成立，则：
xlnx＋x＋a≥0
a≥－(xlnx＋x)
设：g(x)=xlnx＋x
则：g'(x)=lnx＋2
函数g(x)的最小值是g(1/e²)=(1/e²)－(2/e²)=－1/e²
则：a≥[－g(x)]的最大值，得：a≥1/e²

追问

f(x)的导数怎么求的？

追答

f(x)=(x＋a)lnx
则：
f'(x)=[(x＋a)'(lnx)]＋[(x＋a)(lnx)']
f'(x)=[lnx]＋[(x＋a)/(x)]

Answer 2

　　f'(x)=alnx+(x+a)/x=1+alnx+a/x=(x+axlnx+a)/x>0
　　=>x+axlnx+a>0
　　=>a<-x/[1+xlnx]
　　设g(x)=-x/[1+xlnx],其定义域为（0，+∞)
　　又g'(x)=[-1（1+xlnx)-(-x)(lnx+1)]/[1+xlnx]²=(x-1)/[1+xlnx]²=0
　　=>x=1
　　当x>1,g'(x)>0
　　当x<1,g'(x)<0
　　=>x=1为g(x)的最小值点。
　　=>g(1)=-1
　　由a<g(x)得
　　a<-1

Answer 3

见了东哥还有胖是环境子涛，两个人在我的对经过