Question

用1,2,3,4,5,6,7,8,9各一次组成9的倍数,要求他们的乘积最大,请写出这个乘法算式.

Answer 1

解：
利用“能被9整除的数的各位数之和也能被9整除”这一特性来判断某数能否被9整除。
由于9+8+7+6+5+4+3+2+1=45，可以被9整除，所以将{9,8,7,6,5,4,3,2,1}这9个数分为两个能被9整除的数的乘积，只要其中一个数可以被9整除，另一个数也能被9整除。
由于对称性，只需要考虑“1位数*8位数”、“2位数*7位数”、“3位数*6位数”、“4位数*5位数”这4种情况。

⑴ 1位数*8位数
乘积最大的算式为9*87654321=788888889

⑵ 2位数*7位数
2位相加最大等于9+8=17<18,最小等于1+2=3<9，所以2位之和只可能为9
寻找这样的2位数，采用遍历的方法，为确保不会出现重复交叉的情况，先找出第一位可能的最小数值，这样它的第二位一定比第一位小，再找出第二位数（后面各种情况的遍历也采用这种方法）。
9/2=4.5,第一位要比4大，所以最小为5
经遍历，可能的组合有4组：{5，4}，{6，3}，{7，2}，{8，1}
只取4组中所能组成的最大数计算大小即可：
54*9876321=533321334
63*9875421=622151523
72*9865431=710311032
81*9765432=790999992

⑶3位数*6位数
3位相加最大等于9+8+7=24<27,最小等于1+2+3=6<9，所以3位之和可能为9和18
①3位相加等于9
9/3=3,第一位要比3大，所以最小为4
经遍历，可能的组合有3组：{4，3，2}，{5，3，1}，{6，2，1}，取3组中所能组成的最大数计算大小：
432*987651=426665232
531*987642=524437902
621*987543=613264203

②3位相加等于18
18/3=6,第一位要比6大，所以最小为7
经遍历，可能的组合有7组：{7,6,5},{8,7,3},{8,6,4},{9,8,1},{9,7,2},{9,6,3},{9,5,4}，取7组所能组成的最大数计算大小：
765*984321=753005565
873*965421=842812533
864*975321=842677344
981*765432=750888792
972*865431=841198932
963*875421=843030423
954*876321=836010234

⑷4位相加最大等于9+8+7+6=30<36,最小等于1+2+3+4=10>9所以4位之和可能为18和27
①4位相加等于18
18/4=4.5,第一位要比4.5大，所以最小为5，但5+4+3+2=14<18，所以最小为6
经遍历，可能的组合有11组：{6,5,4,3}，{7,6,4,1}，{7,6,3,2}，{7,5,4,2}，{8,7,2,1}，{8,6,3,1}，{8,5,4,1}，{8,5,3,2}，{9,6,2,1}，{9,5,3,1}，{9,4,3,2}，取11组中所能组成的最大数计算大小：
6543*98721=645931503
7641*98532=752883012
7632*98541=752064912
7542*98631=743875002
8721*96543=841951503
8631*97542=841885002
8541*97632=833874912
8532*97641=833073012
9621*87543=842251203
9531*87642=835315902
9432*87651=826724232

②4位相加等于27
27/4=6.75,第一位要比6大，所以最小为7，但7+6+5+4=22<27，8+7+6+5=26<27,所以最小为9
这样相当于后三位之和为18，可采用⑶中②的结果，可能的组合有3组：{9,8,7,3},{9,8,6,4},{9,7,6,5}，取3组中所能组成的最大数计算大小：
9873*65421=646000263
9864*75321=742966344
9765*84321=823394565

综上所述，乘积最大的算式为：963*875421=843030423