Question

若函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+3)=-f(x+1),且f(1)=2013,则f[f(2013)+2]+1=?

Answer 1

因为 f(x+4)=f[(x+1)+3]= -f[(x+1)+1]= -f(x+2)= -f[(x-1)+3]= f[(x-1)+1]=f(x) ，
所以函数是周期为 4 的周期函数。
因此 f(2013)=f(2009)=f(2005)=.........=f(1)=2013 ，
那么 f[f(2013)+2]+1
=f(2013+2)+1
=f(4*503+3)+1
=f(3)+1
=f(0+3)+1
= -f(0+1)+1
= -f(1)+1
= -2013+1
= -2012 。

Answer 2

f(x+3)=-f(x+1) 令t=x+1 则原函数可化简为
f(t+4)=f(t)
则f（x）函数是周期为 4 的周期函数
[f(2013)+2]+1
=f[f(2012+1)+2]+1
=f[f(4*503+1)+2]+1
=f[f(1)+2]+1
=f(1+2)+1
=f(3)+1
=f(0+3)+1
= -f(0+1)+1
= -f(1)+1
= -2013+1
= -2012