Question

已知函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=5π/3,则函数g(x)=asinx+cosx的初像是?

Answer 1

f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=5π/3,
故sin5π/3+acos5π/3=√（1+a^2）或-√（1+a^2）
两边同时平方得到，（-√3/2+a/2）^2=1+a^2
解出a=-√3/3
故g（x）=-√3/3sinx+cosx=2√3/3sin（x+2π/3）
因此g（x）的初相是2π/3

Answer 2

已知函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=5π/3,则函数g(x)=asinx+cosx的初相是?
解：f(x)=sinx+tanθcosx=(1/cosθ)(sinxcosθ+cosxsinθ)=(1/cosθ)sin(x+θ)=[√(1+a²)]sin(x+θ)
其中tanθ=a，-π/2<θ=arctana<π/2；
一条对称轴是x=5π/3，故得sin(5π/3+θ)=-1，5π/3+θ=3π/2，故θ=3π/2-5π/3=-π/6；
故a=tan(-π/6)=-√3/3
故g(x)=asinx+cosx=tanθsinx+cosx=(1/cosθ)(cosxcosθ+sinxsinθ)=[√(1+a²)]cos(x-θ)
于是得其初相φ=-θ=π/6.