Question

如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若∠EAF=60°,BE=2cm,DF=3cm,求平行四边形ABCD的周长和面积

若问题改为CF=2cm，CE=3cm，求平行四边形ABCD的周长和面积。

Answer 1

在四边形AECF中，∠AEC=∠AFC=90°，∴∠C=180°-∠EAF=120°，
∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B=∠D=60°，
在RTΔABE中，cosB=BE/AB，∴AB=2BF=4，
∴AE=√(AB^2-BE^2)=2√3，
在RTΔADF中，AD=2DF=6，
∴ABCD周长：2(AB+AD)=20cm，
SABCD=BC*AE=12√3平方厘米。

Answer 2

解：四边形AECF中，
∠EAF=60°，∠AEC=∠AFC=90°
∴∠C=360-90-90-60=120°
∴∠B=∠D=60°
∴AB=2BE=4，AE=√3BE=2√3
∴AD=2DF=6
∴平行四边形ABCD的周长=2（4+6）=20cm
平行四边形的面积=AE×AD=12√3cm²

追问

若问题改为CF=2cm，CE=3cm，求平行四边形ABCD的周长和面积

追答

设BC=AD=x，CD=AB=y
则：BE=x-3，DF=y-2
由△ABE∽△ADF得：
AB:AD=BE:DF
即：y：x=（x-3）：（y-2）
又由∠B=∠D=60°可知：
y=2(x-3)
∴2（x-3）：x=（x-3）：（2x-6-2）
整理得：
3x²-25x+48=0
解得：x1=16/3，x2=3
当x=3时，y=0不符合题意，舍去
当x=16/3时，y=14/3
∴周长=2（x+y）=20cm

AE=(√3/2)AB=7√3/3
∴面积=AE×BC=7√3/3×16/3=112√3 /9cm²