Question

设正数数列{an}前n项和Sn=1/4（an+1）^2 设bn=1/（an*an+1 ) 求数列｛bn｝的前一项的和Tn

Answer 1

解：
n=1时，a1=S1=(1/4)(a1+1)²
(a1-1)²=0
a1=1
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=(1/4)(an+1)²-(1/4)[a(n-1)+1]²
整理，得
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
数列为正数数列，an+a(n-1)>0，因此只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an=1+2(n-1)=2n-1
bn=1/[ana(n+1)]=1/[(2n-1)[2(n+1)-1]]=(1/2)[1/(2n-1)-1/[2(n+1)-1] ]
Tn=b1+b2+...+bn
=(1/2)[1/(2×1-1)-1/(2×2-1)+1/(2×2-1)-1/(2×3-1)+...+1/(2n-1)-1/[2(n+1)-1] ]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)