Question

已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)和圆x^2+y^2=b^2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点

分别为A.B。若椭圆上存在点P，使得PA向量乘以PB向量=0，那么椭圆的离心率的取值范围是什么

Answer 1

PA向量乘以PB向量=0，等价于PA⊥PB，又∵PA⊥OA、PB⊥OB，且OA=OB
∴PAOB是正方形边长为b，对角线OP=√2·b
因此，P存在的前提是：以O为圆心、√2·b为半径的圆与椭圆C存在交点。
∴√2·b《 a，∴b^2《a^2/2，∴e^2 = c^2/a^2 》1/2，结合e<1得到：e∈[√2/2，1)