Question

a,b,c大于0，求证下面的不等式

Answer 1

证明:对正实数a、b、c,有(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>=9(ab+bc+ca).
先证 (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≥3(a+b+c)^2.
(一)配方法
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-3(a+b+c)^2
=(a^2+2)(bc-1)^2+(a^2+2)(b-c)^2/2+3(2-ab-ac)^2/2≥0
(二)局部不等式
因为
(b^2+2)(c^2+2)-3[2+(b+c)^2]/2.
=(bc-1)^2+3(b-c)^2/2>=0
所以
(b^2+2)(c^2+2)>=3[2+(b+c)^2]/2.
再由柯西不等式
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>=3(a^2+2)*[1+(b+c)^2/2]
>=3(a+b+c)^2
∵(b-c)^2+2(bc-1)^2≥0,
∴(b^2+2)(c^2+2)≥3[1+(b+c)^2/2]
由Cauchy不等式知
(a^2+2)[1+(b+c)^2/2]≥(a+b+c)^2.
∴(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)
≥3(a+b+c)^2
≥9(ab+bc+ca).
p.s (a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
=0.5[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] ≥0
=> (a+b+c)^2≥3(ab+bc+ca)