Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2ax^2+bx,b=2,f(x)-g(x)有单调减区间,求a的范围

Answer 1

解：h(x)=lnx-ax²/2-2x，定义域是x>0，导数h`(x)=1/x-ax-2<0应在x>0上有解。
①a>0时，h`(x)单调递减，此时h`(x)<0，成立；
②a=0时，h`(x)=1/x-2，当x>1/2时h`(x)<0，成立；
③a<0时，h`(x)=1/x-ax-2可以看成对勾函数，最小值在1/x=-ax即x=√(-1/a)时取到，此时h`(x)=2√(-a)-2<0应成立，解得a>-1，故-1<a<0.
综上，a>-1，a∈(-1,+∞)

参考:

h(x)=f(x)-g(x)=lnx-(1/2)ax²-2x, x>0
h'(x)=1/x-ax-2=-(ax²+2x-1)/x
i)当a=0,h'(x)=-(2x-1)/x
知x∈(1/2,+∞),h'(x)<0,h(x)单调减少
ii)a≠0,只需讨论ax²+2x-1=0的判别式△=4(1+a),[x1+x2=-a/2,x1x2=1/a,x1<x2]
当a<-1,△<0,恒有h'(x)>0,知不存在x使得h'(x)<0,h(x)单调减少
当a=-1,h'(x)=(x-1)²/x≥0,且h'(x)不恒为0,知h(x)在定义域内单调增加,知不存在单调减少区间
当-1<a<0,△>0,令h'(x)=0,x>0.仅有一解x=x2,知x∈(0,x2),有h'(x)<0,h(x)单调减少
当a>0,△>0,令h'(x)=0,x>0.x无解,此时恒有h'(x)<0知x∈(0,+∞),h(x)单调减少
综上要使得h(x)存在单调减区间,a的取值范围为a∈(-1,+∞)