初三数学几何压轴题

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-1/6x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上一动点，M是线段AP中点，将线段MP绕点P顺时针旋转9... 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= -1/6x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上一动点，M是线段AP中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90度得线段PB。过点B作x轴的垂线，两直线相交于点D。

2）当t为何值时，点D落在抛物线上。
3）是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与三角形AOP相似？若存在，求出此时t的值。
4）连接AC，在点P运动过程中，若以BP为直径的圆与直线AC相切，求此时t的值。展开

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匿名用户
2013-05-31

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　　解：（1）∵抛物线y=-16x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），
∴c=4-16×64+8b+c=0，
解得b=56c=4．
故所求b，c的值分别为56，4；

（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°-∠APO，
∴△AOP∽△PEB且相似比为AOPE=APPB=2，
∵AO=4，
∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，
又∵DE=OA=4，
∴点D的坐标为（t+2，4），
∴点D落在抛物线上时，有-16（t+2）2+56（t+2）+4=4，
解得t=3或t=-2，
∵t＞0，
∴t=3．
故当t为3时，点D落在抛物线上；
（3）存在t，能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似，理由如下：
①当0＜t＜8时，如图1．
若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD，
即t：（t+2）=4：（4-12t），
整理，得t2+16=0，
∴t无解；
若△POA∽△BDA，同理，解得t=-2±25（负值舍去）；
②当t＞8时，如图3．
若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD，
即t：（t+2）=4：（12t-4），
解得t=8±45（负值舍去）；
若△POA∽△BDA，同理，解得t无解；
综上可知，当t=-2+25或8+45时，以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似；
（4）如图2．∵A（0，4），C（8，0），
∴AC的解析式为y=-12x+4．
设BP的中点为N，由P（t，0），B（t+2，t2），可得N（t+1，t4），AP=16+t2．
过点N作FN∥AC交y轴于点F，过点F作FH⊥AC于点H，
设直线FN的解析式为y=-12x+m，将N（t+1，t4）代入，
可得-12（t+1）+m=t4，即m=3t4+12．
由△AFH∽△ACO，可得AFAC=FHCO，
∵AF=4-m，
∴4-m45=FH8，
∴FH=2×4-m5，
当以PB为直径的圆与直线AC相切时，FH=12BP=14AP，2×4-m5=1416+t2，
将m=3t4+12代入，整理得：31t2-336t+704=0，
解得：t=8，t=8831．