Question

数学题竞赛

某次象棋比赛有奇数个选手参赛，每个选手都同其他选手比赛一盘，记分办法是胜一盘得2分，合一盘得1分，负一盘得0分，已知其中两名选手共得16分，其他人的平均分为整数。求参加此次补赛的选手共有多少人？

Answer 1

设共有x人参加比赛，每个人要下（x-1）盘，x个人共下x(x-1)盘，共得分x(x-1)分。
设其他人的平均得分为y，则有：
x(x-1)-16=(x-2)y
y=(x²-x-16)/(x-2)
=(x+1)-14/(x-2)
所以：（x-2）必须是14的因数，14的因数有1、2、7、14.
（x-2）可能为1,、2、7、14
所以：x=3、5、9、16.

x(x-1)>16
∴x>(1+√65)/2或x<(1-√65)/2(不合题意，舍去)
∴x>(1+√65)/2，即：x>4.5……

所以，x=5、9都满足题意！
答案：此次参加比赛的共有5人或者9人。

Answer 2

象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，记分办法是胜一盘得1分，和一盘各得0.5分，负一盘得0分。已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分数为整数，问参赛的选手共有几人？

解:设参赛的人有x+2人,那么每人下x+1盘.
那么所有人的得分总和为(x+1)(x+2)/2,(因为,一盘棋的1分等于是两个人来分).再设其余人的得分为y.
故,列出方程:(x+1)(x+2)/2=8+xy,(y∈z)
.因为x不等于0.
所以得到如下关系:y=(x^2+3x-14)/2x
.再整理得:y=(x/2)+3/2-(7/x).
因为y是整数,
所以x必须是7的约数,即1和7.
因为有两名选手得8分且参加比赛的人数为奇数,
所以x只能等于7.
经检验之后,x=7.y=4成立.
所以共有9人参加比赛.