Question

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OF⊥BD于点O，交CD于点E，交BC的延长线于点F，

求证：AO2=OE•OF

Answer 1

楼主你好：
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OC（矩形对角线平分），OC=OD
∴∠OCD=∠ODC，∠BCD=90°
∵OF⊥BD，
∴∠F=∠ODC，
∴∠OCD=∠F，
在△OCE和△OFC中，
∵∠EOC=∠COF，∠OCD=∠F，
∴△OCE∽△OFC，
∴OC：OF=OE：OC
∴OC2=OE•OF，
∴AO2=OE•OF．

不会的可以追问

Answer 2

是这样的
先看三角形ODE和三角形CFE
因为角DOE=角ECF=90
对顶角OED=CEF
所以角ODE=角EFC=角OFB

因为三角形ODE和OFB中，两对角分别相等
所以两个三角形相似
所以
OD/OE=OF/OB
OD*OB=OE*OF
OA2=OE*OF

Answer 3

Rt△DBC中，∠DBC+∠BDC=90；Rt△OFB中，∠DBC+∠F=90,所以∠F=∠BDC.
所以Rt△DOE∽Rt△FOB,所以OE/OB=OD/OF,OE*OF=OB*OD,又因为矩形对角线相等，OB=OD=OA,
所以OA²=OE*OF

Answer 4

∵∠DOE=∠FCE=90°，∠DEO=∠FEC（对顶角相等）
∴三角形DOE与三角形FCE相似
∴∠ODE=∠F
又∵∠DOE=∠FOB=90°
∴三角形DOE与三角形FOB相似
∴OD/OE=OF/OB
OB=OD=OA
∴OA/OE=OF/OA
即AO²=OE·OF

Answer 5

证明:因为OF垂直BD
所以∠BOF=90度
所以∠F=∠BDC（等角的余角相等）
因为∠BDC=∠ACD
所以∠F=∠ACD
因为∠COF=∠COF
所以△COE∽△FOC
CO/OF=OE/OC
OC*OC=OE*OF
因为AO=OC
所以AO*AO=OE*OF

Answer 6

只要证明三角形DOE相似于BOF（很容易证明）
然后相似比成比例即可证明