Question

高等代数问题

把（kE+A）^2变成对角阵的过渡矩阵和把A变成对角阵的过渡矩阵相同吗？

Answer 1

首先明确一点: 将一个矩阵对角化的过渡矩阵通常是不唯一的.
设可逆矩阵T使得T^(-1)AT为对角矩阵, 则对任意可逆对角矩阵D,
有S = TD可逆, 且S^(-1)AS为对角矩阵, 而且还有很多除此之外的例子.
因此使(kE+A)²对角化的矩阵与使A对角化的矩阵是否相同这种提法是不严格的.

比较严格的问法是: 若T使(kE+A)²对角化, T是否一定使A对角化?
这里还有一点歧义:
(1) 若对某个k, T使(kE+A)²对角化, T是否一定使A对角化?
(2) 若对任意一个k, T都使(kE+A)²对角化, T是否一定使A对角化?

(1)的回答是否定的.
例如k = 0, 二阶方阵A = [1,0;0,-1], 满足A² = E.
于是对可逆矩阵T = [1,1;0,1], 有T^(-1)A²T = T^(-1)T = E, 为对角矩阵.
但T^(-1)AT = [1,2;0,-1]不为对角矩阵.

(2)的回答是肯定的.
只需取k = 1/2与-1/2, 即得T^(-1)(E/2+A)²T与T^(-1)(-E/2+A)²T均为对角矩阵.
相减即得T^(-1)AT为对角矩阵.

另外, 逆命题成立, 即若T使A对角化, 则对任意的k, T一定使(kE+A)²对角化.
由T^(-1)AT为对角矩阵, T^(-1)A²T = (T^(-1)AT)²仍为对角矩阵.
于是T^(-1)(kE+A)²T = k²E+2kT^(-1)AT+(T^(-1)AT)²为对角矩阵.