Question

如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上任意一点，DE垂直AB，DF垂直AC，CH垂直AB，求证：DE

＋DF＝CH 要2种方法

Answer 1

方法1：过D作DG⊥CH
则DGHE是矩形 DE=HG,
∵AB=AC, ∴∠B=∠FCD
∵AB∥DG∴∠B=∠GDC
DC=CD
∴⊿DCF=⊿CDG
CG=DF
HC=HG+GC
=DE+DF

法2：
过C作CH⊥AB于H
连结AD
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴S⊿ABC=S⊿ABD+S⊿ACD
即½×AB×CH=½×AB×DE+½×AC×DF
∵AB=AC
∴DE+DF=CH

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Answer 2

第一种：过D作DG垂直CH，易证三角形DGC与三角形DFC全等，则DE=HG,DF=CG,DE+DF=HG+CG=CH；
第二种：延长ED到G，作GC垂直AC，因为∠B=∠C,∠BED=∠DFC,∴∠BDE=∠CDF=∠CDG,可证三角形CDF与CDG全等。

Answer 3

证明：
（1）连接AD
三角形ABC面积S=S三角形ABD+S三角形ADC
=AB*DE/2+AC*DF/2
=AB*DE/2+AB*DF/2
=AB*(DE+DF)/2
=AB*CH/2
所以：DE+DF=CH

（2）
因为DE⊥AB，CH⊥AB，DE//CH
所以△BED∽△BHC
BD/BC=DE/CH……（a）
RT△BED和RT△CFD中
AB=AC，∠EBD=∠FCD
所以：RT△BED∽RT△CFD
DF/DE=DC/DB
DF/(DE+DF)=DC/(DB+DC)=DC/BC……（b)
（a）和（b）相加：
(BD+DC)/BC=DE/CH+DF/(DE+DF)=1
所以：DE*DE+DE*DF+CH*DF=CH*DE+CH*DF
所以：DE+DF=CH