已知,如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点M,N.P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:四边形MNPQ是矩形
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证明:连接A,C 连接B,D 交AC于O点,令AC与MO的交点为S
∵AD=AB,DC=BC,AC=AC
∴∠AOD=∠AOB=90°
∵M,N.P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点
∴MQ‖BD,QP‖AC
∴∠ASQ=∠AOD=90°
∵QP‖AC
∴QP‖AS
∴∠PQM=∠ASQ=90° (1)
∵ QP‖AC ,MN‖AC
∴QP‖MN (2)
由(1)(2)可证得四边形MNPQ是矩形.
∵AD=AB,DC=BC,AC=AC
∴∠AOD=∠AOB=90°
∵M,N.P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点
∴MQ‖BD,QP‖AC
∴∠ASQ=∠AOD=90°
∵QP‖AC
∴QP‖AS
∴∠PQM=∠ASQ=90° (1)
∵ QP‖AC ,MN‖AC
∴QP‖MN (2)
由(1)(2)可证得四边形MNPQ是矩形.
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因为M,N.P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点
所以AM=AN=BN=BP=CP=CQ=DM=DQ
所以角AMN=角DMQ=45度，MN=NP=PQ=QM
所以角NMQ=90°
所以四边形MNPQ是矩形
所以AM=AN=BN=BP=CP=CQ=DM=DQ
所以角AMN=角DMQ=45度，MN=NP=PQ=QM
所以角NMQ=90°
所以四边形MNPQ是矩形
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