Question

已知x+y=1且x,y>0,那么(4x+1/x)(y+1/y)的极小值为？

这道题难道没人能解吗？？？此题希望有解，极小值运算后不要忘了验算等号成立条件与x+y=1是否矛盾，建议求导

Answer 1

当x＋y=1且x＞0、y＞0时，z=(4x＋1/x)(y＋1/y)①的最小值为10。已知条件实际上是直线x＋y=1在第一象限的部分除去和坐标轴的交点。此题用寻常方法难以奏效，用坐标旋转变换消除一个变量可解决问题。将xoy坐标系逆时针旋转45°，新坐标系为XoY(注意:X、Y为大写)，则x=(X-Y)/√2②、y=(X＋Y)/√2③，根据已知条件得X=1/√2④、|Y|＜1/√2⑤；将②③④代入①并整理得z=(4x＋1/x)(y＋1/y)=2｛(1/2)(1-2Y^2)＋(1＋√2Y)/[2(1-√2Y)]＋2/(1-2Y^2)＋2(1-√2Y)/(1＋√2Y)｝⑥；由基本不等式知⑥式前两项和≥1＋√2Y⑦，取等号的条件是(1-√2Y)^2=1，即Y=0；⑥式后两项的和≥4/(1＋√2Y)⑧，取等号的条件也是(1-√2Y)^2=1，即Y=0；将⑦⑧代入⑥式得z≥2[1＋√2Y＋4/(1＋√2Y)]，取等号时Y=0，所以z≥10，即(4x＋1/x)(y＋1/y)的最小值为10，取最小值时x=y=1/2。

Answer 2

(4x+1/x)(y+1/y)
=(4x^2+1)/x (y^2+1)/y
=(4x^2y^2+4x^2+y^2+1)/xy=
=4xy+4x/y+y/x+1/xy
=4xy+x/y +4x/y+1/xy
大家都知道a+b>=2根号ab （a=b) 那么要是上面2个a+b都能满足a=b。那就是最小值了，不防试试
4xy+y/x（当4xy=y/x 有4x^2=1)

4x/y+1/xy(当4x/y=1/xy 有 4x^2=1)
2个刚好满足取相同的a.b.(xy）

所以当x=1/2,y=1/2时候取得极小值
即最小值为4y^2+4x^2=2

追问

这个不对呀，(4x+1/x)(y+1/y)=(4x^2+1)/x (y^2+1)/y？
老兄偷换概念啦！！！
求大神解答！

追答

你交叉相乘看下，(4x+1/x)(y+1/y)=4xy+4x/y+y/x+1/xy
其实俺走了弯路，直接相乘就得这个
(4x+1/x)(y+1/y)=(4x^2+1)/x (y^2+1)/y是成立的，4x+1/x 看成共同分母，4x要在乘以个X。Y也同理，相=的

Answer 3

设
x = cos^2t
y = sin^2t
(x+1/x)(y+1/y)
= sin^2t*cos^2t + 1/sin^2tcos^2t + sin^2t/cos^2t +cos^2t/sin^2t
= (2 - 2sin^2tcos^2t + sin^4tcos^4t)/sin^2tcos^2t
= sin^2tcos^2t + 2/sin^2tcos^2t - 2
= sin^2(2t)/4 + 8/sin^2(2t) - 2

0 < sin^2(2t) <= 1
sin^2(2t) = 1， x = y = 1/2, 原式有极小值 25/4
(x+1/x)(y+1/y)>= 25/4

追问

(x+1/x)=(4x+1/x)?,而且cos^2t+sin^2t=1，t的范围你还需要验一下，这太麻烦了吧

追答

因为x+y=1,所以x=1-y,
所以
原式=〖4（1-y)+1/1-y〗×（y+1/y)
=（5-4y)(y+1)/y(1-y)
=(4/y2-y)×(y2-1/4y-4/5)
=(4/y2-y)×〖(y-1/2)2〗+（6/y2-y)
所以当y=1/2时
原式有极小值
极小值=6/（1/4-1/2）
=-12

追问

不好意思啦，题设为x、y>0,x+y=1,极小值必然大于零啊，
所以不对！
不过你这个思路不错，应该换元后试试求导

追答

不好意思
原式=的第四步是-（6/y2-y)
结果是12