Question

判断级数∑[(-1)^n /√n+1/n]是否收敛，若收敛，条件收敛还是绝对收敛？

Answer 1

如果通项就是((-1)^n/√n)+(1/n), 那么级数发散.
原因是∑(-1)^n/√n收敛(Leibniz判别法, 交错级数, 绝对值单调趋于0), 而∑1/n发散.
一个收敛级数与一个发散级数的和是发散的.

如果原题通项是(-1)^n/√(n+1/n), 那么级数收敛.
同样是由Leibniz判别法(n+1/n单调递增).
取绝对值后, 通项1/√(n+1/n)与1/√n是等价无穷小.
根据比较判别法, ∑1/√(n+1/n)发散.
因此级数是条件收敛的.

追问

是第一个 步骤可以详细点吗？

追答

∑1/n发散应该是熟知的, 这里就不写了.
∑(-1)^n/√n是一个交错级数, 通项的绝对值1/√n单调递减趋于0.
根据Leibniz判别法, 级数收敛.
于是原级数是一个收敛级数与一个发散级数的和, 一定发散.