Question

如图，在△ABD和△ABC中，∠C=∠D=90°，BD与AC交于点E。EF⊥AB于F，求证：AC·AE+BD·BE=AB²

初二党作业。求详细步骤啊、

Answer 1

证明：因为EF垂直AB
所以角AFE=角BFE=90度
因为角C=角D=90度
所以角C=角AFE=90度
因为角BAC=角BAC
所以三角形EAF和三角形BAC相似（AA)
所以AE/AB=AF/AC
所以AE*AC=AF*AB
角D=角BFE=90度
角ABD=角ABD
所以三角形BEF和三角形BAD相似（AA)
所以BE/AB=BF/BD
所以BE*BD=BF*AB
所以AC*AE+BD*BE=AB*AF+BF
因为AF+BF=AB
所以AC*AE+BD*BE=AB^2

Answer 2

证明：
∵∠C=∠AFE=90°
∴ΔACB∽ΔAFE
∴AF/AC=AE/AB
即AF*AB=AE*AC
同理ΔBEF∽ΔBAD
BF*BA=BE*BD
故AC*AE+BD*BE=AF*AB+BF*BA
=AB*(AF+BF)
=AB²
证毕。

如仍有疑惑，欢迎追问。 祝：学习进步！

Answer 3

因为∠C=∠D=∠AFE=∠EFE=90°
所以可过AFED及EFBC分别作两个圆（四点共圆）
根据切割线定理可得
BF·AB=BE·BD
AF·AB=AE·AC
上下两式相加
AC·AE+BD·BE=AB²

Answer 4

∵EF⊥AB，∠C=90°=∠AFE，∠BAC=∠BAC，
∴RTΔAEF∽RTΔABC，
∴AE/AB=AF/AC，
∴AE*AC=AF*AB，同理：BE*BD=BF*AB，
∴AE*AC+BE*BD=AB(AF+BF)=AB^2。