Question

如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D点，E、F分别是AB、AC（或它们的延长线）上的一点，

如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D点，E、F分别是AB、AC（或它们的延长线）上的一点，且∠EDF+∠BAC=180°.求证：DE=DF.

Answer 1

过D对AB  AC做垂线，DG DH，对于AHDG这个四边形，有两个角是直角，所以剩下的两个角BAC和GDH相加是180度。而BAC和EDF相加也是180度，很容易能证得EDG和HDF两个角是相等的。这个就不需要我证明了吧。而AD是BAC的角平分线，所以DG和DH是相等的，DE=DG除以COS角EDG，DF=HD除以COS角HDF，而DG=DH  角EDG=角HDF，所以DE=DF

 

Answer 2

证明：

过D作DG⊥AB,作DH⊥AC
因为AD为角BAC的平分线，所以有
∠GAD=∠HAD
又因为AD=AD
所以Rt△GAD≌Rt△HAD
于是得到DG=DH
在四边形DGAH中，由于∠DHA和∠DGA均为直角
所以有∠GAH+∠BAC=180°
又因为∠EDF+∠BAC=180°
所以∠EDF=∠GDH
∠EDF=∠EDG+∠GDF
∠GDH=∠FDH+∠GDF
所以有∠EDG=∠FDH
又因为DG=DG
所以Rt△EDG≌Rt△FDH
于是得到
DE=DF
证毕。

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Answer 3

证明：过点D分别作DM垂直AB于M ,DN垂直AC于N
所以角DME=角DNF=90度
角AMD=角AND=90度
因为AD平分角BAC
所以角BAD=角CAD
因为AD=AD
所以三角形AMD和三角形AND全等（AAS)
所以DM=DN
因为角BAC+角EDF=180度
角BAC+角AED+角EDF+角AFD=360度
所以角AED+角AFD=180度
因为角AFD+角DFN=180度
所以角AFD=角DFN
所以三角形DME和三角形DNF全等（AAS)
所以DE=DF

追问

3Q

Answer 4

∵四边形内角总和为360º，又∠EDF＋∠BAC＝180，∴∠EAF＋∠EDF＝180º.∴四边形AEDF对角互补，∴四边形AEDF共圆，即四点均在同一圆上。∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAF，∵∠DAE＝∠DAF，∠DAE、∠DAF均为圆周角，∴两角所对的弦相等，即DE＝DF

Answer 5

我想你是在考试吧。你真实人才。。

追问

没有考试啦~做作业呢~哪敢考试作弊啊~