Question

设A为3阶矩阵，a1，a2分别为A的属于特征值-1，1的特征向量，向量a3满足Aa3=a2+a3，证

设A为3阶矩阵，a1，a2分别为A的属于特征值-1，1的特征向量，向量a3满足Aa3=a2+a3，证明a1，a2，a3线性无关；令P=（a1，a2，a3），求P^-1AP

Answer 1

⑴ 设k1a1+k2a2+k3a3＝0 ①

A① -k1a1+k2a2+k3﹙a2+a3﹚＝0 即

-k1a1+﹙k2+k3﹚a2+k3a3＝0 ②

A② 得到 k1a1+﹙k2+2k3﹚a2+k3a3＝0 ③

③-① 2k3a2＝0 a2≠0 ∴k3＝0

①+② k2＝0 再从① k1＝0 a1,a2,a3 线性无关；

⑵ 令 J＝P^-1AP 则PJ＝AP＝﹙-a1,a2,a2+a3﹚＝﹙a1,a2,a3﹚×

┏ -1 0 0┓
┃ 0 1 1 ┃
┗ 0 0 1 ┛

即P^-1AP＝
┏ -1 0 0┓
┃ 0 1 1 ┃
┗ 0 0 1 ┛