Question

设函数f(x)在区间[0，1]上连续，并设∫【0,1】f(x)dx=A,证明∫【0,2】dx∫【x,

设函数f(x)在区间[0，1]上连续，并设∫【0,1】f(x)dx=A,证明∫【0,2】dx∫【x,1】f(x)f(y)dy=1/2A^2

Answer 1

要证明的积分上限应该是1。证明思路：先交换积分顺序，然后交换变量的符号，
相加除以2即可。
原式=∫【0,1】dy∫【0,y】f(x)f(y)dx 这是交换积分顺序
=∫【0,1】dx∫【0,x】f(x)f(y)dy 这是对上一个积分中的x，y变量互换符号而已
=0.5∫【0,1】dx∫【0,1】f(x)f(y)dy
上面个两个积分相加除以2，注意内层积分恰好是从0到x和从x到1
=0.5∫【0,1】f(x)dx∫【0,1】f(y)dy
=0.5A^2。