Question

设f(x)在(0,+∞)上有定义,且f'(1)=a(a≠0) ,又对任意x,y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y),求f(x)

Answer 1

解：
∵f(x)在（0，+∞）上有定义，对任意x,y属于(0,+∞)有 ：
f(xy)=f(x)+f(y)
∴由函数性质可知：
对数函数的定义域为（0，+∞），对任意x,y属于(0,+∞)都有 f(xy)=f(x)+f(y)成立
∴f(x)为对数函数
设f(x)=log(b,x)（以b为底·，x的对数）
∵f '(1)=a（a不等于0）
又F’(x)=1/(xlnb)
∴ F’(1)=1/(lnb)=a，即：
alnb=1
解得：b=e^(1/a)【e的1/a次方】
∴f(x)=log(e^(1/a),x),【以e^(1/a)为底，x的对数】

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