Question

已知抛物线y=-x^2-2x+a(a>0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y=1/2z+1/2a与x轴相交于

B点，与直线AM相交于N点；直线AM与x轴相交于C点。
（1）求M的坐标与直线MA的解析式（用字母a表示）；
（2）如图，将△NBC沿x轴翻折，若N点的对应点N’恰好落在抛物线上，求a的值；
(3)在抛物线y=-x^2-2x+a(a>0)上是否存在一点P，使得以P，B，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

答：
（1）抛物线y=-x^2-2x+a=-(x+1)^2+a+1
令x=0，y=a，所以顶点M为(-1,a+1)，点A为(0,a)
直线MA为：y-a=(x-0)(a+1-a)/(-1-0)=-x，即：y=-x+a
所以顶点M为(-1,a+1)，直线MA的解析式为y=-x+a

（2）直线y=x/2+a/2交x轴于点B(-a,0)，直线MA即y=-x+a交x轴于点C(0，a)，
两直线交点N为（a/3,2a/3）。
△NBC沿x轴对折，因为BC在x轴上，因此点N'与点N关于x轴对称，所以点N'为（a/3,-2a/3)。
点N'坐标代入抛物线方程得：
-2a/3=-(a/3)^2-2*(a/3)+a
解得：a=9

（3）分别使得△NBC三条边作为平行四边形的对角线之一，
因此可以作3个平行四边形，对应点P有三个：
BC直线y=0；NC直线y=-x+a；NB直线y=x/2+a/2
3.1）当NB为对角线时：直线y=2a/3与直线y=-x-a的交点P为(-5a/3,2a/3)
代入抛物线方程得：2a/3=-(-5a/3)^2-2*(-5a/3)+a，解得a=33/25。

3.2）当BC为对角线时：直线y=(x-a)/2与直线y=-(x+a)的交点P为(-a/3,-2a/3)
代入抛物线方程得：-2a/3=-(-a/3)^2-2*(-a/3)+a，解得a=21。

3.3）当NC为对角线时：直线y=2a/3与直线y=(x-a)/2的交点P为(7a/3,2a/3)
代入抛物线方程得：2a/3=-(7a/3)^2-2*(7a/3)+a，解得a=39/49。

综上所述，a=33/25或者a=21或者a=39/49