Question

设正数x,y满足x+4y=40求lgx+lgy的最小值

Answer 1

设正数x,y满足x+4y=40
(x+4y)≥2√X*4Y=4√xy
∴√xy≤10
当且仅当x=4y,即x=20,y=5时取等号
xy≤100
lgx+lgy=lg(xy)≤2

按此lgx+lgy的最大值为2

Answer 2

解：由x+4y=40得
x=40-4y
lgx+lgy
=lg（40-4y）+lgy
=lg4（10-y）+lgy
=lg4+lg（10-y）+lgy
=lg4+lgy（10-y）
（1）∵m=y（10-y）在0＜y≤5时，是单增函数
n=lgm在0＜y＜5时，是单增函数
∴lgy（10-y）是单增函数
在y=5时，取得最大值，
原式
=lg4+lg5×（10-5）
=lg（4×25）
=2
（2）∵m=y（10-y）在y≥5时，是单减函数
n=lgm在y≥5时，是单增函数
∴lgy（10-y）是单减函数
在y=5时，取得最大值
原式
=lg4+lg5×（10-5）
=lg（4×25）
=2
∴lgx+lgy的最大值为2

Answer 3

最大值吧？

最小值不存在啊，比如x=10^(-n)，y=10-x/4，lgx+lgy<-n+1.

最大值的话，lgx+lgy=lg(x*4y)-lg4<=lg400-lg4=2.

Answer 4

解：∵正数x,y满足x+4y=40
∴x=40-4y>0 y>0
∴0<y<10
∵xy=(40-4y)y=-4y²+40y=-4(y-5)²+100
抛物线开口向下，对称轴y=5
∴0<xy≤100
∴lgx+lgy=lg(xy)没有最小值，但有最大值为2

Answer 5

lgx+lgy=lgxy，故求其最小值既是求xy最小值
正数x,y满足x+4y=40>=2√x·4y，故xy<=100
lgx+lgy=lgxy<=lg100=2