Question

有关高数积分的问题

不定积分∫1/(1+x^2)dx=arctanx，而∫-1/(1+x^2)dx=-arccotx，那可不可以说arctanx=-arccotx，好像不相等，但不知道为什么，请高手帮忙指点，谢谢

Answer 1

不可以说arctanx=-arccotx
这是积分，不能直接相加的
应该说
(arctanx)'+(arccotx)'=0
即，(arctanx)'=-(arccotx)'

追问

不能直接相加是什么意思，能不能详细讲解一下，请举例说明，谢谢

追答

积分不能直接相加

∫1/(1+x^2)dx=arctanx，而∫-1/(1+x^2)dx=arccotx
你认为，∫1/(1+x^2)dx＋∫-1/(1+x^2)dx=0
所以，arctanx=-arccotx
这是不对的
虽然，1/(1+x^2)＋-1/(1+x^2)＝0
但是，加上积分符号后
就必须先求出对应的原函数，才能再做四则运算。
也就是说
∫1/(1+x^2)dx＋∫-1/(1+x^2)dx并不等于0
实际上，
∫1/(1+x^2)dx＋∫-1/(1+x^2)dx
＝arctanx+arccotx+C（C为常数）

追问

可是∫xdx+∫x^2dx不是=∫(x+x^2)dx 吗，请问这个应该怎么理解，谢谢

追答

我昨天说的不太清楚

不是说积分不能相加，而是不能直接相加等于0

∫1/(1+x^2)dx=arctanx，而∫-1/(1+x^2)dx=arccotx
你认为，∫1/(1+x^2)dx＋∫-1/(1+x^2)dx=0
所以，arctanx=-arccotx
这是不对的
虽然，1/(1+x^2)＋-1/(1+x^2)＝0
但是，加上积分符号后
∫1/(1+x^2)dx＋∫-1/(1+x^2)dx
＝∫0dx
＝C（C为常数）

即，arctanx＋arccotx＝一个常数
实际上，arctanx＋arccotx＝π/2
这样，你该明白了吧

但是，加上积分符号后
就必须先求出对应的原函数，才能再做四则运算。

这句话说错了

先积分再做四则运算，和先做四则运算，再积分是一样的
昨天可能想睡觉了，所以脑袋不太清醒，对不起了。