Question

如图，抛物线y=x^2+2x-3与x轴的交于A,B两点，与y轴交于C点。

（1）B,C点的坐标（2）设直线y=x+3与抛物线对称轴的交点是D，以D点为圆心，AD为半径的圆与直线BC有怎样的位置关系？并说明理由。（3）在（2）的条件下，M是线段OC上的动点（M不与O、C重合），ME∥BD交x轴与E点，交抛物线对称轴于N点，连接CN、CE.设CM的长为m，设△CNE的面积为S，求S与m之间的函数关系式。试说明S是否存在最大值，并求出最大值，并求出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由。要图加我q:1047574376

Answer 1

1、令y=0,则 x^2+2x-3=0,
(x+3)(x-1)=0,
x1=-3,x2=1,
B(-3,0),
令x=0,y=-3,
C(0,-3)，
2、由前所述，A（1，0），
y=(x+1)^2-4,
对称轴为x=-1,顶点坐标（-1，-4），
将x=-1,代入直线方程，y=2,
D点坐标（-1，2），
|DA|=√[(-1-1)^2+(2^2]=2√2,
圆半径R=2√2,
|BD|=2√2，
〈CBA=45度，
〈DBA=45度，
DB⊥BC，
故圆和直线BC相切。
3、NE//BD，设直线为y=x+b,
M(0,m-3),b=m-3, y=x+m-3,
N(-1,m-4),E（3-m,0),
|NE|=√[（m-2)^2+(m-4)^2]=√(2m^2-12m+20),
C至NE距离，|0+3+m-3|/√2
=√2m/2,
(不用距离公式，作CH⊥NE，垂足H，则三角形CHM是等腰直角三角形，
|CH|=√2m/2，
S△CNE=|NE|*|CH|/2=(1/2)（√2m/2）√[(m-2)^2+(2-m)^2]
=m*|(m-2)|/2,
当0<m<=2时，S=m(2-m)/2,
S=-(m-1)^2/2+1/2,
当m=1时有最大值，为1/2，
当2<=2m<3时，
S=m*(m-2)/2,
S'=m-1>0,
单调增函数，
m=3时应为最大，即经过原点，
S=3/2,
对于0<m<3,则S=1/2就不是最大值。
但，因0<m<3 ，M不与O、C重合，故没有最大值，也没有最小值，但有一定范围，
0<S<3/2。.

Answer 2

解：（1）y=x2-2x-3
=x2-2x+1-1-3
=（x-1）2-4；
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）．

（2）由抛物线y=x2-2x-3和直线y=-x+3可求得：
A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，3），
∴OB=OC=OD=3，
∴∠OBD=∠OBC=45°；
又∵∠OBD=∠AFE，∠OBC=∠AEF，
∴∠AFE=∠AEF=45°，
∴∠EAF=90°，AE=AF；
∴△AEF是等腰直角三角形．点评：此题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法、圆周角定理、等腰直角三角形的判定等知识，在解题过程中，要注意数形结合思想的应用，难度中上． 分析：（1）将C点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出k的值；令抛物线的解析式中y=0，即可求出A、B的坐标；
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可求出M点的坐标；由于四边形ACMB不规则，可连接OM，将四边形ACMB的面积转化为△ACO、△MOC以及△MOB的面积和；
（3）当D点位于第三象限时四边形ABCD的最大面积显然要小于当D位于第四象限时四边形ABDC的最大面积，因此本题直接考虑点D为与第四象限时的情况即可；设出点D的横坐标，根据抛物线的解析式即可得到其纵坐标；可参照（2）题的方法求解，连接OD，分别表示出△ACO、△DOC以及△DOB的面积，它们的面积和即为四边形ABDC的面积，由此可得到关于四边形ABDC的面积与D点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABDC的最大面积及对应的D点坐标．解答：解：（1）由于点C在抛物线的图象上，则有：k=-3；
∴y=x2-2x-3；
令y=0，则x2-2x-3=0，
解得x=-1，x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
故填：k=-3，A（-1，0），B（3，0）；

（2）抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM；
则△AOB的面积= ，△MOC的面积= ，△MOB的面积=6；
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9；

（3）设D（m，m2-2m-3），连接OD；
则0＜m＜3，m2-2m-3＜0；
且△AOC的面积= ，△DOC的面积= m，△DOB的面积=- （m2-2m-3）；
∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=- m2+ m+6=- （m- ）2+ ；
∴存在点D（ ，- ），使四边形ABDC的面积最大，且最大值为 ．