Question

已知函数f(x)=e^x+2x^2-ax已知函数f（x）＝e^x＋2x^2－ax （1）函数f（x）在区间［0，1］上存在唯一的极

Answer 1

已知函数f（x）＝e^x＋2x^2－ax。（1）函数f（x）在区间［0，1］上存在唯一的极值点，求a的取值范围；（2）若a＝3，当x>=1/2时，关于x的不等式f(x)>=5x²/2+(b-3)x+1恒成立，试求实数b的取值范围。

答：
（1）f(x)=e^x+2x²-ax
求导：f'(x)=e^x+4x-a
再次求导：f''(x)=e^x+4>0
所以：f'(x)是增函数。
f(x)在[0,1]上存在唯一的极值点，说明f'(x)在区间[0,1]上仅存在唯一的零点。
因为：f'(x)是增函数。
所以：
f'(0)=1+0-a<=0并且f'(1)=e+4-a>=0
解得：1<=a<=e+4
所以：a的取值范围是[1,e+4]

（2）a=3时，f(x)=e^x+2x²-3x，f'(x)=e^x+4x-3
f(x)=e^x+2x²-3x>=5x²/2+(b-3)x+1
e^x-x²/2-1>=bx在x>=1/2上恒成立。
所以：b<=(e^x-x²/2-1)/x在x>=1/2上恒成立。
设g(x)=(e^x-x²/2-1)/x，即求g(x)在x>=1/2上的最小值。
求导：g'(x)=(e^x-x)/x-(e^x-x²/2-1)/x²=(xe^x-e^x-x²/2+1)/x²
令m(x)=(x-1)e^x-x²/2+1
求导：m'(x)=e^x+(x-1)e^x-x=x(e^x-1)>0
所以：m(x)在x>=1/2上是增函数。
所以：m(x)>=m(1/2)=-√e/2-1/8+1=(7-4√e)/8>0
所以：g'(x)>0
所以：g(x)在x>=1/2上是增函数。
所以：g(x)>=g(1/2)=(√e-1/8-1)/(1/2)=2√e-9/4>=b
所以：b的取值范围是（-∞，2√e-9/4]