Question

初中数学：圆

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且 ∠BAE=∠C
（1） 求证：直线AE是⊙O的切线
（2） 若EB=AB，cos∠E=4/5，AE=24，求EB的长及⊙O的
半径。

Answer 1

证明（1）连接BD
△ABC内接于⊙O,△ABD内接于⊙O
∠C与∠D都是线段AB对着的角
所以∠C=∠D
因为AD是⊙O直径，
所以AD对着的∠ABD=90度
因为∠D+∠BAD=90
所以∠C+∠BAD=90
所以∠BAE+∠BAD=90
证明的 直线AE是⊙O的切线

⑵
过点B作BF⊥AE于点F，则∠BFE=90度
因为EB=AB
所以∠E=∠BAE,EF=1/2AE=12
因为∠BFE=90度，cosE=4/5
所以EB=AB=15
因为∠D=∠BAE,又∠E=∠BAE
∠D=∠E
故设BD=4a,则AD=5a
AB²=AD²-BD²=3a
a=5
故AD=25，半径为25/2

Answer 2

连接BD,∠C=∠ADB,∠ABD=90，∠BAE=∠C,∠EAD=∠BAE+∠BAD=∠C+∠BAD=∠ADB+∠BAD=180-90=90
(1)得证
cos∠E=1/2AE÷EB EB=12÷(4/5)=15
EB=AE ∠E=∠BAE=∠C cos∠C=cos∠ADB=4/5 sin∠ADB=3/5
AD=15÷(3/5)=25 r⊙O=25÷2=12.5

Answer 3

⑴连接CD
∵AD是圆的直径
∴∠ACD=90°
∵∠BCD=∠BAD(同弧上的圆周角相等）
∠C=∠BAE
∴∠BAE+∠BAD=∠C+∠BCD=∠ACD=90°
即∠EAD=90°
∴OA⊥AE
∴AE是圆O的切线
⑵
过点B作BF⊥AE于F，则∠BFE=90°
因为EB=AB，故∠E=∠BAE,EF=1/2AE=12
因为∠BFE=90°，cosE=4/5
故EB=AB=15
因为∠D=∠BAE,又∠E=∠BAE
故∠D=∠E
设BD=4k,则AD=5k
AB²=AD²-BD²=3k
k=5
故AD=25，半径为25/2

Answer 4

因为∠BAE=∠C,且∠AEB=∠AEC,所以△AEB∽△CEA.
所以，AE²=EB*EC,由切割线定理的逆定理，AE是切线。
(2)过B做AE垂线，垂足为F。EF=12，cos∠E=4/5,所以EB=15.
连接BD，∠ADB=∠C=∠BAE=∠E,所以cos∠ADB=cos∠E=4/5,
sin∠ADB=3/5,AB=EB=15,所以AD=25.圆的半径为12.5。

Answer 5

1.连接BD，可知∠ABD=∠BAD+∠BDA=∠BAD+∠C=∠BAD+∠BAE=∠EAD=90度，即AE垂直AD，而AD是直径，所以AE是圆O的切线。
2.由EB=AB,所以∠E=∠BAE=∠ADB,所以cos∠E=cos∠ADB=BD/AD=4/5，作BF垂直AE交AE于F，cos∠E=EF/EB=1/2EF/EB=12/EB=4/5，所以EB=AB15.
易知sin∠E=sin∠ADB=3/5=AB/AD=15/AD，所以AD=25,所以圆的半径为12.5.

Answer 6

初中学过圆周角定律没，用圆周角定律可证，连接BD，根据圆周角定律，角EAB=角c=角ADB,然后，根据直径所对应的圆周角为90度，所以角EAB+角BAD=角D+角BAD=90度

第二问靠谱吗？EB=BA这就是等腰直角三角形了，cos还能为0.8？