Question

请教两道数学题

1. f(x)为二次多项式，且f(2004)=1，f(2005)=2，f(2006)=7，则f(2008)=?
答案给的是设f(x)=a(x-2004)(x-2005)+b(x-2004)+1
我的问题是为什么可以这样设？有什么公式吗？

2.设多项式f(x)除以x-10，x^2-2x+3的余式分别为2，4x+6 则f(x)除以（x-1）(x^2-2x+3)的余式为？
答案是设f(x)=(x-1)(x^2-2x+3)q(x)+a(x^2-2x+3)+4x+6
问题也是为什么可以这样设

Answer 1

第一题，这样设其实只是为了方便计算而已，原理和你设f(x)=ax^2+bx+c是一样的，都是为了找出一个式子同时满足题目中所给的三个条件，只不过这一题你设f(x)=ax^2+bx+c计算量太大了，而按照你问题中给出的设法则计算量会小很多，这种设法本身不管ab的只是多少都满足了f(2004)=1这一个条件，剩下的只用把f(2005)=2，f(2006)=7代入算出常数就行了，在这个式子中，真正关键的是a(x-2004)和b(x-2004)+1，而（x-2005）中的2005只是为了计算方便而取的一个常数，这个常数就算是填2006，甚至是1,2,3对于这道题的答案都不会有影响的，只不过计算会繁琐一些。
第二题，这里要注意的是x^2-2x+3本身是（x-1）(x^2-2x+3)中的一项，也就是说（x-1）(x^2-2x+3)是x^2-2x+3的倍数，所以一个式子除以（x-1）(x^2-2x+3)的余式一定是x^2-2x+3的倍数加上这个式子除以x^2-2x+3的余式。如果不是很明白的话可以拿数字来类比，比如12是3的倍数，44除以3的余数是2，44除以12的余数是8，而8=3X2+2。所以说问题中给出的这个设法实际上是满足了f(x)除以x^2-2x+3的余式为4x+6这个条件，接下来只需要把f(x)除以x-10的余式为2这一条件代入就可以了。
以上，如果还有什么我没说清楚的地方也可以问我~

Answer 2

根据题中给出的备选答案：
1、设置“零因子”可以使问题的求解过程变得最简单。
一元二次多项式f(x)=二次项 + 一次项 + 常数项
当x1=2004时，f(x)=1。最简单的，假定：多项式的一次项和二次项都为零，只有常数项为1，则
f(x)=二次项+一次项+1
即令一次项和二次项都含有(x-2004)的因子。所以一次项设为b(x-2004)，二次项设为a(x-2004)*M，M是x的一次多项式，可表示为(x-x0)的形式，则函数表达式为
f(x)=a(x-2004)*M+b(x-2004)+1=a(x-2004)*(x-x0)+b(x-2004)+1
当x2=2005 时，f(x)=2,是一个简单常数，此时若令多项式某项的值为零，可使问题最简化，
很显然，在x2=2005 时，(x2-2004)=1≠0，常数项不可能为0，一次项也不可能为零。
唯一地，只有令二次项的因子M=0，即令2005-x0=0
所以x0=2005
即M=x-2005，由此得到最简化运算的最简单的多项式表达式
f(x)=a(x-2004)*(x-2005)+b(x-2004)+1

由题意：f(2004)=1
f(2005)=b+1=2 b=1 f(x)=a(x-2004)*(x-2005)+(x-2004)+1
f(2006)=a(2006-2004)*(2006-2005)+(2006-2004)+1
=a*2+3
=7
即2a+3=7 a=2 f(x)=2(x-2004)*(x-2005)+(x-2004)+1
f(2008)=2*(2008-2004)*(2008-2005)+(2008-2004)+1
=2*4*3+4+1
=29
设多项式f(x)除以x-10，x^2-2x+3的余式分别为2，4x+6 则f(x)除以（x-1）(x^2-2x+3)的余式为？
答案是设f(x)=(x-1)(x^2-2x+3)q(x)+a(x^2-2x+3)+4x+6
问题也是为什么可以这样设
2、首先，f(x)除以x-10的余式为2，所以多项式f(x)-2可以被(x-10)分解因式，
f(x)是(x-10)的高阶多项式，
因为(x-10)与(x-1)为同阶多项式，很显然f(x)也是(x-1)的高阶多项式
其次， f(x)除以x^2-2x+3的余式为4x+6 ,多项式f(x)-(4x+6)可以被（x²-2x+3）分解因式；
f(x)是(x²-2x+3)的高阶多项式，
欲求f(x)被(x-1)*(x²-2x+3)除，余？
应当假定f(x)为(x-1)*(x²-2x+3)的高阶多项式，其余式为N(x)+(4x+6)，即
f(x)=(x-1)*(x²-2x+3)*M(x)+N(x)+(4x+6)
因为f(x)-(4x+6)可以被(x²-2x+3)分解因式；
所以 N(x)为f(x)被(x-1)(x²-2x+3)分解因式后的余式，但可以被(x²-2x+3)分解因式
即N(x)是)(x²-2x+3)的同阶待定多项式，可设系数为b，
即N(x)=b(x²-2x+3)
即可以设定 f(x)=(x-1)*(x²-2x+3)*M(x)+b(x²-2x+3)+(4x+6) 或
f(x)=(x-1)(x^2-2x+3)q(x)+a(x^2-2x+3)+4x+6
不知理解妥否，请共勉。
祝你周末快乐！