Question

如图,在△ABC中,BE⊥AC,CF⊥AB交AB边于F,BE与CF交于G点,求证BG·BE+CG·CF=BC^2

初二水平....用相似做...

Answer 1

G是两条高的交点，是三角形的垂心，连结AG并延长与BC相交于D，则AD是BC边上的高，∵〈GEA=90度，〈GFA=90度，〈GEA+〈GFA=180度，∴A、F、GE四点共圆，根据圆外割线定理，BG*BE=BF*BA，（1）同理，CG*CF=CE*CA，（2）（1）+（2）式，BG*BE+CG*CF=BF*BA+CE*CA，（3）而A、F、D、C四点同在以AC中点为圆心，以AC为直径的圆上，同样根据割线定理，BF*BA=BD*BC，CE*CA=CD*CB，由（3）式，BG*BE+CG*CF=BD*BC+CD*BC=BC*（BD+CD）=BC*BC=BC^2,∴BG*BE+CG*CF=BC^2,证毕。若不用割线公式，则利用圆内接四边形外角等于内对角，证明△CEG∽△CFA，△BGF∽△BAE，△BDF∽△BAC，△CDE∽△CAB亦可。

追问

aaa....初二还没学圆呢啊！！！