Question

设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有的正整数n,有4Sn=（an+1）2

（I）求a1，a2的值；
（II）求数列{an}的通项公式；
（III）令b1=1，b2k=a2k-1+（-1）k，b2k+1=a2k+3k（k=1，2，3，…），求{bn}的前20项和T20． 我没内个该死优点 看不了答案 求大神来解，只用第三问就好 前面都会

Answer 1

解：
1.
4a1=4S1=(a1+1)²
整理，得(a1-1)²=0
a1=1
4S2=4a1+4a2=4+4a2=(a2+1)²
整理，得(a2-1)²=4
a2=-1(舍去)或a2=3
a1=1 a2=3
2.
n=1时，a1=1
n≥2时，4Sn-4S(n-1)=4an=(an+1)²-[a(n-1)+1]²
整理，得
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
an+a(n-1)恒>0，因此只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2n-1。
3.
b2=a1+(-1)=1-1=0
b(2k)=a(2k-1)+(-1)^k=2(2k-1)-1+(-1)^k=4k-3+(-1)^k
b(2k+2)=4(k+1)-3+(-1)^(k+2)
b(2k+2)-b(2k)=4，为定值。
数列的偶数项是以0为首项，4为公差的等差数列。
b(2k+1)=a(2k)+3k=2k-1+3k=5k-1
b(2k+3)=a(2k+2)+3k=5(k+1)-1
b(2k+3)-b(2k+1)=5，为定值。
数列的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列。
前20项，奇数项与偶数项各10项。
T20=(b1+b3+...+b19)+(b2+b4+...+b20)
=10×1+10×9×5/2 +10×0+10×9×4/2
=415