Question

求函数值域的方法！

Answer 1

在函数的三要素中,对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用.本文就函数值域求法归纳如下.
1,直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.
例1 求函数y=3-的值域.
解: 0 - 0 3- 3
故函数的值域是:[-∞,3]
2,配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.
例2,求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域.
解:将函数配方得:y=(x-1)+4,x[-1,2],由二次函数的性质可知:
当x=1时,y =4
当x=-1,时=8
故函数的值域是:[4,8]
3,判别式法
例3 求函数y=的值域.
解:原函数化为关x的一元二次方程(y-1)-x+(y-1)=0
(1)当y≠1时,xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1) 0
解得:y
(2)当y=1,时,x=0,而1[,]
故函数的值域为[,]
例4求函数y=x+的值域.
解:两边平方整理得:2-2(y+1)x+y=0(1)
xR,△=4(y+1)-8y0
解得:1-y1+
但此时的函数的定义域由x(2-x)0,得:0x2.
由△0,仅保证关于x的方程:2-2(y+1)x+y=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由△0求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为[,].可以采取如下方法进一步确定原函数的值域.
0x2,y=x+0,
=0,y=1+代入方程(1),解得:=[0,2],即当=时,原函数的值域为:[0,1+].
注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除.
4,反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.
例5 求函数y=值域.
解:由原函数式可得:x=
则其反函数为:y=
其定义域为:x≠
故所求函数的值域为:(-∞,)
5,函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域.
例6 求函数y=的值域.
解:由原函数式可得:=
>0,>0
解得:-1 7,换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.
例9 求函数y=x+的值域.
解:令x-1=t,(t0)则x=+1
∵y=+t+1=+,又t0,由二次函数的性质可知
当t=0时,y=1,当t→0时,y→+∞.
故函数的值域为[1,+∞)
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.
例10 求函数y=+的值域.
解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和.
由上图可知:当点P在线段AB上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10
故所求函数的值域为:[10,+∞]
例11 求函数y=+ 的值域
解:原函数可变形为:y=+

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y=∣AB∣==,
故所求函数的值域为[,+∞].
例12 求函数y=-的值域
解:将函数变形为:y=-
上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差.即:y=∣AP∣-∣BP∣
由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P ,则构成△ABP ,根据三角形两边之差小于第三边,
有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣<∣AB∣==
即:-(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时, 有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= .
综上所述,可知函数的值域为:(-,-). 注:由例11,例12可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B在x轴的同侧.
如:例17的A,B两点坐标分别为:(3,2),(-2,-1),在x轴的同侧;
例18的A,B两点坐标分别为:(3,2),(2,-1),在x轴的同侧.
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细,认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法然后才考虑用其他各种特殊方法.

Answer 2

高手!!