Question

已知抛物线y=-x^2+(m-2)x+3(m+1).

(1)求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点.
（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与X轴有两个交点A，B（点A在点B的左侧）时，如果在∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角，求m的取值范围.
（3)在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△PAO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式

Answer 1

(1)韦达定理
(m-2)^2+12(m+1)=m^2-4m+4+12m+12=m^2+8m+16=(m+4)^2>=0
所以总有交点
(2)x=0时y=3(m+1) 所以C(0,3(m+1))
x1=m+3 x2=-3 所以A（-3,0） B(m+1,0)
AC=根号(9+9(m+1)^2)=3根号(m^2+2m+2)
BC=根号((m+1)^2+9(m+1)^2)=根号10 lm+1l
AB=根号((m+4)^2+0)=lm+4l
其中m+1>-3 m>-4 m+1>0 m>-1
若cos∠CAB=(AC^2+AB^2-BC^2)/(2AC*AB)=(9m^2+18m+18+m^2+8m+16-10m^2-20m-10)/(2AC*AB) =(6m+24)/(2AC*AB)<0 则6m+24<0 m<-4 （不符合要求）
若cos∠CBA=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB*BC)=(m^2+8m+16+10m^2+20m+10-9m^2-18m-18)=(2m^2+10m+8)/(2AB*BC)<0 则2m^2+10m+8<0 m^2+5m+4<0
得m>-1 或m<-4
综合得m>-1

(3)x=(m-2)/2 y=(m^2-4m+4)/4 +3(m+1)=m^2/4 +2m+4
所以P((m-2)/2 ,m^2/4+2m+4)
S△PAO=3/2 *(m^2/4+2m+4)
S△ABC=1/2 *(m+4)*l3(m+1)l
3/2 (m^2/4+2m+4)=1/2 *(m+4)*3(m+1)
m^2/4+2m+4=m^2+5m+4
m^2/2 +3m=0
m=0 或 m/2+3=0 m=-3/2
得m=0
所以y=-x^2-2x+3

Answer 2

1）-x^2+(m-2)x+3(m+1)=0
△=(m-2)²+4*3(m+1)=m²+8m+16=(m+4)²≥0
因此，无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点
2）C点坐标有吗？

追问

没有

Answer 3

由题目有，两个交点为x1
x2，距离3，有|X1-X2|=3
所以
(x1-x2)^2=9
下面是思路，具体你自己解答，如果再计算不行再提问。
先从抛物线中求出
(x1+X2)
和X1X2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4X1X2
用这个公式计算。