Question

已知数列{an}，其中a1=1，an+1=2an+1，（n属于N*），求它的通项公式

Answer 1

方法一：设a(n+1)+k=2(an+k)，所以a(n+1)=2an+k

因为a(n+1)=2an+1，所以k=1.
所以a(n+1)+1=2(an+1)，数列{an+1}是公比为2的等比数列.
因为an+1=2^n，所以an=2^n-1.

方法二：因为a(n+1)=2an+1，所以an=2a(n-1)+1，n≥2
相减得a(n+1)-an=2[an-a(n-1)]
所以{an-a(n-1)}是公比为2的等比数列.
因为a2=2a1+1=3，所以an-a(n-1)=2*2^(n-1)=2^n.
所以a(n-1)-a(n-2)=2^(n-1)
a(n-2)-a(n-3)=2^(n-2)
... a2-a1=2².
相加得an-a1=2²+2³+...+2^n
所以an=1+2²+2³+...+2^n=2^n-1.

Answer 2

an+1=2an+1
a(n+1)+1=2(an+1)
所以an+1是以首项为2公比为2的等比数列
所以an+1=2*2^(n-1)=2^n
an=2^n-1